每日一题[2268]反客为主

已知函数 $f(x)=(a-x){\rm e}^x\ln x$．

1、若 $f(x)\leqslant 0$ 恒成立，求 $a$．

2、证明：$f(x)<x^a$．

解析

1、题中不等式即 $$(a-x){\rm e}^x\ln x\leqslant 0\iff (x-a)\cdot \ln x\geqslant 0\iff x\leqslant \min\{1,a\}\lor x\geqslant \max\{1,a\},$$ 因此 $a=1$．

2、当 $x=1$ 时，不等式显然成立，当 $x\ne 1$ 时，即证明 $$(x-a){\rm e}^x\ln x+x^a>0.$$ 将不等式左边看为参数为 $x$，关于 $a$ 的函数 $g(a)$，则 $$g'(a)=-{\rm e}^x\ln x+\ln x\cdot x^a=\left(x^a-{\rm e}^x\right)\ln x,$$ 因此 $g(a)$ 的极小值点为 $a=\dfrac{x}{\ln x}$，从而 $g(a)$ 的极小值为 $$\left(x-\dfrac x{\ln x}\right){\rm e}^x\ln x+{\rm e}^x={\rm e}^x\cdot x\cdot \left(\ln x-1+\dfrac 1x\right)>0,$$ 其中用到了基本放缩 $\ln x\leqslant x-1$（令 $x\to \dfrac 1x$）．