每日一题[2264]同构函数

已知函数 $f(x)=\left({\rm e}^{a x}-1\right) \ln x$（$a>0$）．

1、当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．

2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a x^2-a x$ 在 $[1,+\infty)$ 上恰有 $3$ 个实数解，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\left({\rm e}^x-1\right)\ln x,$$ 于是 $f(1)=0$，$f'(1)={\rm e}-1$，因此曲线 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=({\rm e}-1)(x-1)$，从而切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $$\dfrac 12\cdot 1\cdot ({\rm e}-1)=\dfrac{{\rm e}-1}2.$$

2、方程 $f(x)=ax^2-ax$ 在 $[1,+\infty)$ 上有 $3$ 个实数解等价于方程 $$\dfrac{{\rm e}^{ax}-1}{ax}=\dfrac{x-1}{\ln x}$$ 在 $x\in(1,+\infty)$ 上有 $2$ 个实数解．设 $g(x)=\dfrac{x-1}{\ln x}$，则当 $x>1$ 时，其导函数 $$g'(x)=\dfrac{\ln x-1+\dfrac 1x}{\ln^2x}>0,$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，因此方程 $$\dfrac{{\rm e}^{ax}-1}{ax}=\dfrac{x-1}{\ln x}\iff g\left({\rm e}^{ax}\right)=g(x)\iff {\rm e}^{ax}=x\iff a=\dfrac{\ln x}{x},$$ 设方程右侧为函数 $h(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x},$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&1^+&(1,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&0&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline\end{array}$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$．