每日一题[2260]单调研究

设函数 $f(x)=x\ln x$．

1、设 $g(x)=\dfrac{f^{\prime}(x)}{x}$，求 $g(x)$ 的极值点．

2、若 $x_2>x_1>0$ 时，总有 $\dfrac{m}{2}\left(x_2^2-x_1^2\right)>f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

解析

1、函数 $g(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$，其导函数

$$g'(x)=\dfrac{-\ln x}{x^2},$$ 于是 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，$x=1$ 为 $g(x)$ 的极大值点，极大值为 $1$．

2、根据题意，有

$$\forall x_2>x_1>0,~f(x_2)-\dfrac12mx_2^2<f(x_1)-\dfrac 12mx_1^2,$$ 因此函数 $h(x)=f(x)-\dfrac 12mx^2$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，其导函数 $$h'(x)=1+\ln x-mx,$$ 因此题意即 $$\forall x>0,~1+\ln x-mx\leqslant 0,$$ 取 $x=1$，可得 $m\geqslant 1$，而当 $m\geqslant 1$ 时，有 $$1+\ln x-m x\leqslant 1+\ln x-x\leqslant 0,$$ 命题成立．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$．