每日一题[2309]谷底三角形

设 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$，函数 $f_1\left(x\right)=x{\rm e}^x$，$f_2\left(x\right)=f_1^\prime\left(x\right)$，$f_3\left(x\right)=f_2^\prime\left(x\right)$，$\dots$，$f_{n+1}\left(x\right)=f_n^\prime\left(x\right)$，曲线 $y=f_n\left(x\right)$ 的最低点为 $P_n$，$\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ 的面积为 $S_n$，则（       ）

A．$\left\{S_n\right\}$ 是常数列

B．$\left\{S_n\right\}$ 不是单调数列

C．$\left\{S_n\right\}$ 是递增数列

D．$\left\{S_n\right\}$ 是递减数列

答案：    D．

解析    根据题意，有

$$f_n(x)=(x+n-1){\rm e}^x,$$ 且 $$f_n'(x)=(x+n){\rm e}^x,$$ 因此 $P_n\left(-n,-\dfrac{1}{{\rm e}^n}\right)$，进而有 $$P_{n+1}=\left(-n-1,-\dfrac{1}{{\rm e}^{n+1}}\right),P_{n+2}\left(-n-2,-\dfrac{1}{{\rm e}^{n+2}}\right),$$ 因此 $$\overrightarrow{P_nP_{n+1}}=\left(-1,\dfrac{{\rm e}-1}{{\rm e}^{n+1}}\right),\quad \overrightarrow{P_nP_{n+2}}\left(-2,\dfrac{{\rm e}^2-1}{{\rm e}^{n+2}}\right)$$ 从而 $$S_n=\dfrac 12\left|-\dfrac{{\rm e}^2-1}{{\rm e}^{n+2}}+\dfrac{2({\rm e}-1)}{{\rm e}^{n+1}}\right|=\dfrac{{\rm e}^2-2{\rm e}+1}{2{\rm e}^{n+2}},$$ 因此 $S_n$ 是单调递减数列．