每日一题[2308]花落谁家

在三棱锥 $S-ABC$ 中，$\triangle ABC$ 为正三角形，设二面角 $S-AB-C$，$S-BC-A$，$S-CA-B$ 的平面角的大小分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，且 $\alpha,\beta,\gamma\neq\dfrac{\pi}{2}$，则下列结论正确的是（       ）

A．$\dfrac{1}{\tan\alpha}+\dfrac{1}{\tan\beta}+\dfrac{1}{\tan\gamma}$ 的值可能是负数

B．$\alpha+\beta+\gamma<\dfrac{3\pi}{2}$

C．$\alpha+\beta+\gamma>\pi$

D．$\dfrac{1}{\tan\alpha}+\dfrac{1}{\tan\beta}+\dfrac{1}{\tan\gamma}$ 的值恒为正数

答案：D．

解析    如图，设 $S$ 在平面 $ABC$ 上的投影为 $P$，$P$ 在 $AB,BC,CA$ 上的投影分别为 $C_1,A_1,B_1$，连接 $PA_1,PB_1,PC_1$．

定义到 $AB$ 的有向距离：若 $P$ 与 $\triangle ABC$ 的中心在直线 $AB$ 的同侧，则 $d(P,AB)=|PA_1|$，否则 $d(P,AB)=-|PA_1|$．类似可以定义 $d(P,BC),d(P,CA)$，则有

$$d(P,AB)+d(P,BC)+d(P,CA)=h,$$ 其中 $h$ 为正 $\triangle ABC$ 的高，因此 $$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}=\dfrac{d(P,AB)}{|PS|}+\dfrac{d(P,BC)}{|PS|}+\dfrac{d(P,CA)}{|PS|}=\dfrac {h}{|PS|}>0,$$ 选项 $\boxed{A}$ 错误，选项 $\boxed{D}$ 正确．当 $P$ 落在蓝色区域（$\triangle ABC$ 的内部）且 $|PS|\to 0$ 时，有 $\alpha+\beta+\gamma\to 0$，因此选项 $\boxed{C}$ 错误；当 $P$ 落在红色区域（$\triangle ABC$ 的内部在某个顶点的对角区域）且 $|PS|\to 0$，有 $\alpha+\beta+\gamma\to 2\pi$，因此选项 $\boxed{B}$ 错误． 综上所述，正确的结论只有 $\boxed{D}$．