每日一题[2301]构造反例

设 $a>0$，$b>0$，（       ）

A．若 $2^a+2a=2^b+3b$，则 $a>b$

B．若 $2^a+2a=2^b+3b$，则 $a<b$

C．若 $2^a-2a=2^b-3b$，则 $a>b$

D．若 $2^a-2a=2^b-3b$，则 $a<b$

答案    A．

解析    若 $2^a+2a=2^b+3b$，则

$$(2^a+2a)-(2^b+2b)=b>0\implies a>b,$$ 选项 $\boxed{A}$ 正确，选项 $\boxed{B}$ 错误． 若 $2^a-2a=2^b-3b$，取 $a=1$ 以及取 $a=2$ 都有 $2^b-3b=0$，而设 $f(x)=2^x-3x$，则 $f(0)=1$，$f(1)=-1$，$f(3)=-1$，$f(4)=4$，因此该关于 $b$ 的方程在区间 $(0,1)$ 和 $(3,4)$ 内均有实根，这样就构造了 $a>b$ 和 $a<b$ 的情形，因此选项 $\boxed{C}$ 和 $\boxed{D}$ 均错误．