每日一题[2299]映射与对应

设 $S=\{1,2,\cdots,n\}$，$A$ 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在 $S$ 中，且添加 $S$ 的其他元素于 $A$ 后均不能构成与 $A$ 有相同公差的等差数列．求这种 $A$ 的个数（这里只有两项的数列也看作等差数列）．

答案    $\left[\dfrac{n^2}2\right]$．

解析    设 $S_1,S_2$ 分别是 $S$ 不超过 $\dfrac n2$ 以及大于 $\dfrac n2$ 的数构成的集合，那么 $A$ 中必然存在连续两项分别在集合 $S_1$ 和集合 $S_2$ 中．同时可以分别在集合 $S_1$ 和集合 $S_2$ 中各取一数 $x,y$，然后以此两数的差为公差构造符合题意的等差数列，因此等差数列 $A$ 和数对 $(x,y)$ 一一对应，因此 $A$ 的个数为

$$\left[\dfrac n2\right]\cdot \left(n-\left[\dfrac n2\right]\right)=\begin{cases} \dfrac {n^2}4,&2\mid n,\\ \dfrac{n^2-1}2,&2\nmid n,\end{cases}=\left[\dfrac{n^2}4\right].$$