每日一题[2296]左右均衡

已知函数 $f(x)=\begin{cases}2+3\ln x,&x\geqslant1,\\x+1,&x<1,\end{cases}$ 若 $m\ne n$，且 $f(m)+f(n)=4$，则 $m+n$ 的最小值是（       ）

A．$2$

B．${\rm e}-1$

C．$4-3\ln3$

D．$3-3\ln2$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$f(x)\begin{cases} \geqslant 2,&x\geqslant 1,\\ <2,&x<1.\end{cases}$$ 由 $f(m)+f(n)=4$，不妨设 $f(m)<2<f(n)$，于是 $m<1<n$，于是 $$(m+1)+(2+3\ln n)=4\iff m=1-3\ln n,$$ 从而 $$m+n=1-3\ln n+n,$$ 设 $f(x)=1-3\ln x+x$，则其导函数 $$f'(x)=-\dfrac 3x+1,$$ 于是 $f(x)$ 的极小值亦为最小值，为 $f(3)=4-3\ln 3$，因此所求 $m+n$ 的最小值为 $4-3\ln 3$．