每日一题[140] 级数不等式

数列$\left\{a_n\right\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}\sqrt{\dfrac 1{a_n^2}+4}=1$，记$S_n=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$，若$S_{2n+1}-S_n\leqslant \dfrac{m}{30}$对任意$n\in\mathcal N^*$恒成立，则正整数$m$的最小值是________．

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正确答案是$10$．

首先根据题意

$$\dfrac{1}{a_{n+1}^2}=\dfrac{1}{a_n^2}+4,$$ 于是可得 $$a_n^2=\dfrac{1}{4n-3},n\in\mathcal N^*.$$

进而

$$\begin{split}S_{2n+1}-S_n&=a_{n+1}^2+a_{n+2}^2+\cdots+a_{2n+1}^2\\&=\dfrac{1}{4n+1}+\dfrac{1}{4n+5}+\cdots+\dfrac{1}{8n+1},\end{split}$$ 为了探寻其上界，先研究$T_n=S_{2n+1}-S_n$的单调性： $$\Delta T_n=T_n-T_{n-1}=\dfrac{1}{8n+1}+\dfrac{1}{8n-3}-\dfrac{1}{4n-3}<0,$$ 其中$n\geqslant 2,n\in\mathcal N^*$．因此其上确界为 $$T_1=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{9},$$ 从而不难求得正整数$m$的最小值为$10$．

注    事实上，注意到

$$T_n=\dfrac 14\left(\dfrac{1}{n+\dfrac 14}+\dfrac{1}{n+\dfrac 54}+\cdots+\dfrac{1}{n+\left(n+\dfrac 14\right)}\right),$$ 于是 $$\dfrac 14\int_{n+\frac 14}^{n+\frac 54}{\dfrac 1x}{\rm d}x<T_n<\dfrac 14\int_{n-\frac 34}^{2n+\frac 54}{\dfrac 1x}{\rm d}x,$$ 即 $$\dfrac 14\ln\left(2+\dfrac{3}{4n+1}\right)<T_n<\dfrac 14\ln\left(2+\dfrac{7}{4n-3}\right),$$ 因此当$n\to\infty$时，$T_n\to\dfrac 14\ln 2\approx 0.1732$．