已知 ${\rm e}$ 是自然对数的底数，函数 $f(x)={\rm e}^x+\sin x-2x$ 的导函数为 $g(x)$．
1、求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程．
2、若对任意 $x\in\left[-\dfrac{\pi}3,0\right]$，都有 $x\cdot g(x)\geqslant x^2+m$，求实数 $m$ 的取值范围．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x+\cos x-2,\]于是 $f'(0)=0$，从而所求切线方程为 $y=1$．
2、根据题意，有\[\forall x\in \left[-\dfrac{\pi}3,0\right],m\leqslant x{\rm e}^x+x\cos x-2x-x^2,\]也即\[\forall x\in \left[0,\dfrac{\pi}3\right],m\leqslant -x{\rm e}^{-x}-x\cos x+2x-x^2,\]也即\[\forall x\in \left[0,\dfrac{\pi}3\right],m\leqslant \dfrac{x}{{\rm e}^x}\left({\rm e}^x(2-x-\cos x)-1\right),\]设 $h(x)={\rm e}^x(2-x-\cos x)$，则其导函数\[h'(x)={\rm e}^x(1+\sin x-x-\cos x),\]考虑到\[(1+\sin x-x-\cos x)'=\cos x+\sin x-1\geqslant 0,\]于是在 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}3\right]$ 上，有\[1+\sin x-x-\cos x\geqslant (1+\sin x-x-\cos x)\big|_{x=0}=0,\]因此在此区间上 $h(x)$ 单调递增，有\[h(x)\geqslant h(0)=1,\]于是\[ \dfrac{x}{{\rm e}^x}\left({\rm e}^x(2-x-\cos x)-1\right)\geqslant 0,\]且等号可以取得，因此实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．