每日一题[2249]先猜后证

已知 ${\rm e}$ 是自然对数的底数，函数 $f(x)={\rm e}^x+\sin x-2x$ 的导函数为 $g(x)$．

1、求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程．

2、若对任意 $x\in\left[-\dfrac{\pi}3,0\right]$，都有 $x\cdot g(x)\geqslant x^2+m$，求实数 $m$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x+\cos x-2,$$ 于是 $f'(0)=0$，从而所求切线方程为 $y=1$．

2、根据题意，有 $$\forall x\in \left[-\dfrac{\pi}3,0\right],m\leqslant x{\rm e}^x+x\cos x-2x-x^2,$$ 也即 $$\forall x\in \left[0,\dfrac{\pi}3\right],m\leqslant -x{\rm e}^{-x}-x\cos x+2x-x^2,$$ 也即 $$\forall x\in \left[0,\dfrac{\pi}3\right],m\leqslant \dfrac{x}{{\rm e}^x}\left({\rm e}^x(2-x-\cos x)-1\right),$$ 设 $h(x)={\rm e}^x(2-x-\cos x)$，则其导函数 $$h'(x)={\rm e}^x(1+\sin x-x-\cos x),$$ 考虑到 $$(1+\sin x-x-\cos x)'=\cos x+\sin x-1\geqslant 0,$$ 于是在 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}3\right]$ 上，有 $$1+\sin x-x-\cos x\geqslant (1+\sin x-x-\cos x)\big|_{x=0}=0,$$ 因此在此区间上 $h(x)$ 单调递增，有 $$h(x)\geqslant h(0)=1,$$ 于是 $$\dfrac{x}{{\rm e}^x}\left({\rm e}^x(2-x-\cos x)-1\right)\geqslant 0,$$ 且等号可以取得，因此实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．