每日一题[2248]消元求值

如图所示，求长方形的面积．

答案    $12+4\sqrt 7$．

解析    记 $\triangle AED,\triangle BEC,\triangle ABF$ 的面积分别为 $x,y,z$，设 $d(E,AD)=p$，$BF=q$，$AB=a$，$AD=b$，则

$$\begin{cases} bp=2x,\\ (a-p)(b-q)=2y,\\ aq=2z,\end{cases}$$ 由前两个方程可得 $$p=\dfrac{2x}{b}=a-\dfrac{2y}{b-q}\implies q=\dfrac{b(ab-2x-2y)}{ab-2x},$$ 由第三个方程可得 $$q=\dfrac{2z}a,$$ 因此 $$\dfrac{b(ab-2x-2y)}{ab-2x}=\dfrac{2z}a\iff ab(ab-2x-2y)=2z(ab-2x),$$ 即 $$(ab)^2-2(x+y+z)ab+4xz=0\iff ab=x+y+z+\sqrt{(x+y+z)^2-4xz}.$$ 回到本题，有 $x=8$，$y=3$，$z=1$，从而 $ab=12+4\sqrt{7}$．