每日一题[2245]分离与复合

已知函数 $f(x)=x^4-6x^3+rx^2-6x+1$ 在 $(0,3]$ 上有且仅有三个零点，则实数 $r$ 的取值范围是_______．

答案    $\left(10,\dfrac{98}9\right)$．

解析    方程 $f(x)=0$，即

$$r=-\left(x+\dfrac 1x\right)^2+6\left(x+\dfrac 1x\right)+2,$$ 考虑 $t=x+\dfrac 1x$ 在区间 $x\in (0,3]$ 上的单调性以及取值变化，题意即方程 $$-t^2+6t+2=r$$ 在集合 $\{2\}\cup\left(\dfrac{10}3,+\infty\right)$ 和集合 $\left(2,\dfrac{10}3\right]$ 上各有一个实根．

如图，可得所求实数 $r$ 的取值范围是 $\left(10,\dfrac{98}9\right)$．