每日一题[2244]迭代函数法

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a$，$a_{n+1}=a_n^2+a$（$a\in\mathbb R$），则 $|a_n|\leqslant 2$，则 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$[-2,2]$

B．$[-2,0]$

C．$\left[0,\dfrac 14\right]$

D．$\left[-2,\dfrac 14\right]$

答案    D．

解析    设 $f(x)$ 为递推数列 $\{a_n\}$ 的迭代函数，$a_1=a$，则 $M$ 是使得数列 $\{a_n\}$ 有界为 $2$ 的数列的实数 $a$ 的取值集合．根据题意，只需要考虑 $a\in [-2,2]$ 的情形．考虑到不动点方程 $x^2+a=x$ 和初值 $a_1=a$，讨论分界点为 $a=0,\dfrac 14$．

情形一     $a\in\left(\dfrac 14,2\right]$．此时由迭代函数法可知数列 $\{a_n\}$ 单调递增，有 $$a_{n+1}-a_n=\left(a_n-\dfrac 12\right)^2+a-\dfrac 14\geqslant a-\dfrac 14,$$ 于是数列 $\{a_n\}$ 无上界，不符合题意．

情形二     $a\in \left[0,\dfrac 14\right]$．此时函数 $f(x)$ 有两个不动点 $x_1,x_2$，满足 $$0<a<x_1<\dfrac 12<x_2,$$ 容易递推证明 $\{a_n\}$ 单调递增有上界 $x_1$，符合题意．

情形三     $a\in [-2,0)$．此时函数 $f(x)$ 有两个不动点 $x_1,x_2$，满足 $$-2\leqslant a<x_2<0<-a<x_1\leqslant 2,$$ 可以递推证明 $$a\leqslant a_n\leqslant -a,$$ 这是因为函数 $f(x)$ 在 $[a,-a]$ 上的最小值为 $a$，且最大值为 $$\max\{f(a),f(-a)\}=a^2+a\leqslant -a,$$ 符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-2,\dfrac 14\right]$．