每日一题[2229]双重最值

已知函数 $f(x)=|x^2+a|+|x|$，当 $x\in [-1,1]$ 时，记函数 $f(x)$ 的最大值为 $M(a)$，则 $M(a)$ 的最小值为_______．

答案    $\dfrac 98$．

解析    由于函数 $f(x)$ 是偶函数，因此只需要考虑 $x\in [0,1]$ 的情形，进而 $$M(a)=\max\left\{f(0),f\left(\dfrac 12\right),f(1)\right\}=\max\left\{|a|,\left|a+\dfrac 14\right|+\dfrac 12,|a+1|+1\right\},$$ 而 $$\begin{split} \max\left\{|a|,\left|a+\dfrac 14\right|+\dfrac 12,|a+1|+1\right\}&\geqslant \dfrac{\left(\left|a+\dfrac 14\right|+\dfrac 12\right)+\left(|a+1|+1\right)}2\\ &\geqslant \dfrac{\left|\left(a+\dfrac 14\right)-\left(a+1\right)\right|}2+\dfrac 34\\ &= \dfrac 98,\end{split}$$ 等号当 $a=-\dfrac 78$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac 98$．