每日一题[2226]放缩与递推

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），其中 ${\rm e}=2.71828\cdots$，记 $T_n$ 表示数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项乘积，则（       ）

A．$a_{100}<\dfrac 12$

B．$a_{100}>1$

C．$T_{99}\in\left(0,\dfrac{1}{100}\right)$

D．$T_{99}\in\left(\dfrac{1}{100},\dfrac{1}{10}\right)$

答案    C．

解析    根据题意，可得 $a_n$ 单调递增且有上界 $1$，于是有

$$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}=\dfrac{1}{{\rm e}^{1-a_n}}\leqslant \dfrac{1}{2-a_n},$$ 进而 $$\dfrac{1}{1-a_{n+1}}\geqslant 1+\dfrac{1}{1-a_n},$$ 从而可得 $a_n\leqslant \dfrac n{n+1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）且等号只有当 $n=1$ 时取得．因此有 $$\dfrac 12<a_{100}<1,\quad 0<T_{99}<\dfrac{1}{100},$$ 选项 $\boxed{C}$ 正确．