每日一题[2217]以界估值

设 $\alpha\in [0,2\pi)$，存在整数 $a,b$，使得 $\cos\alpha,\sin\alpha$ 为一元二次方程 $x^2+ax+2b^2=0$ 的两个实根，则满足题意的 $\alpha$ 的个数为（       ）

A．$0$

B．$1$

C．$4$

D．前三个选项都不对

答案    C．

解析    根据韦达定理，有

$$\begin{cases} \cos\alpha+\sin\alpha=-a,\\ \cos\alpha\sin\alpha=2b^2,\end{cases}$$ 由于 $\cos\alpha+\sin\alpha\in\left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right]$ 且 $\cos\alpha\sin\alpha\in \left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$，且 $a,b$ 均为整数，因此 $a\in\{-1,0,1\}$，$b=0$，经验证只有 $(a,b)=(\pm 1,0)$ 符合题意．此时 $$(\cos\alpha,\sin\alpha)=(0,\pm 1),(\pm 1,0)\iff \alpha=\dfrac{k\pi}2,k=0,1,2,3,$$ 因此满足题意的 $\alpha$ 有 $4$ 个．