每日一题[2212]三角与几何

边长为 $1$ 的正九边形的最长对角线与最短对角线之差等于（       )

A．$\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}4$

B．$\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 3}4$

C．$\dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}4$

D．前三个选项都不对

答案    D．

解析    根据题意，正九边形的对角线对其中心的张角分别为 $\dfrac{2k\pi}9$，其中 $k=2,3,4$，因此所求最长对角线与最短对角线之差为

$$2R\sin\dfrac{4\pi}9-2R\sin\dfrac{2\pi}9=4R\cos\dfrac{3\pi}9\sin\dfrac{\pi}9=2R\sin\dfrac{\pi}9=1,$$ 其中 $R$ 为正九边形外接圆的半径．

另法

如图，正九边形 $A_1A_2\cdots A_9$ 中，所求几何量为 $A_1A_5-A_1A_3$．注意到 $\angle A_1OA_2=160^\circ$，$\angle A_3A_2A_1=140^\circ$，于是

$$\angle A_1A_5O=10^\circ,\quad \angle A_2A_3A_1=20^\circ,$$ 进而 $\angle A_1A_5A_4=60^\circ$，取 $A_5P=A_5A_4$，则 $\triangle PA_4A_5$ 为正三角形，进而 $\triangle A_4A_3P$ 是顶角为 $80^\circ$ 的等腰三角形，进而 $\triangle A_1A_3P$ 是顶角为 $40^\circ$ 的等腰三角形，从而 $$A_1A_5-A_1A_3=A_1A_5-A_1P=PA_5=A_4A_5=1.$$