每日一题[2210]中线长公式

设 $\triangle ABC$ 三条中线的长度分别为 $6,9,12$，则 $\triangle ABC$ 最长边与最短边的和所在的区间为（       ）

A．$(17,18)$

B．$(18,19)$

C．$(19,20)$

D．前三个选项都不对

答案    C．

解析    设 $\triangle ABC$ 中 $AD=6$，$BE=9$，$CF=12$，重心为 $G$，$\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，则 $$\dfrac{AG}{GD}=\dfrac{BG}{GE}=\dfrac{CG}{GF}=2,$$ 进而 $$GA=4,GD=2,GB=6,GE=3,GC=8,GD=4.$$

在 $\triangle GBC,\triangle GCA,\triangle GAB$ 中分别应用三角形中线长公式，可得 $$\begin{cases} 4^2+a^2=2(6^2+8^2),\\ 6^2+b^2=2(8^2+4^2),\\ 8^2+c^2=2(4^2+6^2),\end{cases}\iff \begin{cases} a=2\sqrt{46},\\ b=2\sqrt{31},\\ c=2\sqrt{10},\end{cases}$$ 于是 $\triangle ABC$ 最长边与最短边的和为 $$a+c=2\sqrt{46}+2\sqrt{10}=\sqrt{224+8\sqrt{460}}\in \left(\sqrt{224+8\cdot 21},\sqrt{224+8\cdot 22}\right)=\left(\sqrt{392},\sqrt{400}\right),$$ 所在的区间为 $(19,20)$．