设 △ABC 三条中线的长度分别为 6,9,12,则 △ABC 最长边与最短边的和所在的区间为( )
A.(17,18)
B.(18,19)
C.(19,20)
D.前三个选项都不对
答案 C.
解析 设 △ABC 中 AD=6,BE=9,CF=12,重心为 G,△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,则AGGD=BGGE=CGGF=2,
进而GA=4,GD=2,GB=6,GE=3,GC=8,GD=4.
在 △GBC,△GCA,△GAB 中分别应用三角形中线长公式,可得{42+a2=2(62+82),62+b2=2(82+42),82+c2=2(42+62),⟺{a=2√46,b=2√31,c=2√10,
于是 △ABC 最长边与最短边的和为a+c=2√46+2√10=√224+8√460∈(√224+8⋅21,√224+8⋅22)=(√392,√400),
所在的区间为 (19,20).