设 $ABCD$ 是四边长分别为 $AB=CD=10$，$BC=14$，$AD=2\sqrt{65}$ 的凸四边形．设 $ABCD$ 的对角线交于点 $P$，且 $\triangle APB$ 与 $\triangle CPD$ 的面积之和与 $\triangle BPC$ 与 $\triangle APD$ 的面积之和相等，则四边形 $ABCD$ 的面积为_______．
答案 $112$．
解析 设 $AP,BP,CP,DP$ 的长度分别为 $a,b,c,d$，且 $\angle CPD=\theta$，则\[\dfrac{1}{2}(a b+c d) \sin \theta=\dfrac{1}{2}(a d+b c) \sin (\pi-\theta),\]可得 $ (a-c)(d-b) =0 $，不妨设 $ a=c $．根据余弦定理，有\[ \begin{split} a^{2}+b^{2}+2 a b \cos \theta&=196 \quad \text { and } \\ a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \theta&=100 \end{split} \]于是 $ a^{2}+b^{2}=148 $ 且 $ a b \cos \theta=24$．类似的，有\[\begin{split} a^{2}+d^{2}+2 a d \cos \theta&=260\quad \text { and }\\ a^{2}+d^{2}-2 a d \cos \theta&=100 \end{split} \]于是 $ a^{2}+d^{2}=180 $ 且 $ a d \cos \theta=40$．因此\[\begin{cases} d^{2}-b^{2}=32,\\ \dfrac{d}{b}=\dfrac{5}{3} ,\end{cases}\implies \begin{cases} d=5 \sqrt{2},\\ b=3 \sqrt{2},\\ a=\sqrt{130},\end{cases}\]且 $ \cos ^{2} \theta=\dfrac{16}{65} $，$ \sin ^{2} \theta=\dfrac{49}{65}$．因此所求面积为\[ \frac{1}{2}(a+c)(b+d) \sin \theta=a(b+d) \sin \theta=\sqrt{130} \cdot 8 \sqrt{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{65}}=112. \]