每日一题[2195]七星扇

从 $23\times 27$ 的矩形的四个角各切掉一个三边长分别为 $6,8,10$ 的直角三角形得到八边形 $ABCDEFGH$，$AB=CD=EF=GH=10$ 且 $BC=DE=FG=HA=11$，如图．设 $J$ 是 $HA$ 的中点，且 $JB,JC,JD,JE,JF,JG$ 把八边形分成 $7$ 个三角形，则这 $7$ 个三角形的重心形成的凸多边形的面积为_______．

答案    $184$．

解析    设线段 $AB,BC,CD,DE,EF,FG,GH$ 的中点依次相连得到凸七边形 $S$，则 $S$ 可以划分为 $2$ 个底边长分别为 $17,23$ 高为 $\dfrac{19}2$ 的梯形和 $1$ 个底边长为 $17$ 高为 $4$ 的三角形，于是 $S$ 的面积为

$$2 \cdot \dfrac{17+23}{2} \cdot \dfrac{19}{2}+\dfrac{17 \cdot 4}{2}=414.$$ 题中的 $7$ 个三角形的重心均在 $J$ 与构成 $S$ 的各顶点连线的 $\dfrac 23$ 处，因此所求凸多边形的面积为 $S$ 面积的 $\dfrac 23$，为 $$414\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=184.$$