每日一题[2193]手切面条

$\triangle ABC$ 的边长分别为 $AB=9$，$BC=5\sqrt 3$，$AC=12$．线段 $AB$ 上依次有点 $P_k$（$k=1,2,\cdots,2449$），记 $P_0=A$，$P_{2450}=B$，类似的，线段 $AC$ 上依次有点 $Q_k$（$k=1,2,\cdots,2449$），记 $Q_0=A$，$Q_{2450}=C$．这样就得到了与 $BC$ 平行的 $2449$ 条线段 $P_kQ_k$（$k=1,2,\cdots,2449$），设这些线段把 $\triangle ABC$ 分割成的 $1$ 个三角形和 $2449$ 个梯形的面积相等，则这些线段长为有理数的条数为_______．

答案    $20$．

解析    对于 $1 \leqslant k \leqslant 2450$，有 $\left[A P_{k} Q_{k}\right]=\dfrac{k}{2450}[A B C]$．因为相似图形的面积比为相似比的平方，于是 $$P_{k} Q_{k}=(B C) \sqrt{\frac{k}{2450}}=5 \sqrt{3} \sqrt{\frac{k}{2450}}=5 \sqrt{\frac{3 k}{2 \cdot 35^{2}}}=\frac{1}{7} \sqrt{\frac{3 k}{2}}.$$ 因此 $P_kQ_k$ 为有理数即 $k=6 j^{2}$，其中 $j$ 为正整数．由于 $k \leqslant 2450$，因此 $j=1,2,\cdots,20$，因此所求条数为 $20$．