每日一题[2192]因式分解

从区间 $[-20,18]$ 中随机选择一个实数 $a$，设

$$x^{4}+2 a x^{3}+(2 a-2) x^{2}+(-4 a+3) x-2$$ 的所有根均为实根的概率的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$ _______．

答案    $037$．

解析    设题中多项式为 $P(x)$，则

$$\begin{split} P(x) &=\left(x^{4}-2 x^{2}+3 x-2\right)+2 a\left(x^{3}+x^{2}-2 x\right) \\ &=(x-1)(x+2)\left(x^{2}-x+1\right)+2 a x(x-1)(x+2) \\ &=(x-1)(x+2)\left(x^{2}+(2 a-1) x+1\right) \end{split}$$ 因此 $P(x)$ 的所有根都是实根，即 $x^2+(2a-1)x+1$ 对应的判别式 $$\Delta=(2a-1)^-4\geqslant 0\iff a\leqslant-\dfrac 12\lor a\geqslant \dfrac 32,$$ 于是根据几何概型，所求概率为 $$1-\dfrac{18-(-20)}{\dfrac 32-\left(-\dfrac 32\right)}=\dfrac {18}{19},$$ 所以所求之和为 $18+19=37$．