每日一题[2191]复数方程组

已知复数 $x,y,z$ 满足

$$\begin{cases} x y=-80-320 {\rm i},\\ yz=60,\\ zx=-96+24{\rm i},\end{cases}$$ 则复数 $x+y+z$ 的模的平方为_______．

答案    $74$．

解析    根据题意，有

$$\begin{split} x^{2} y^{2} z^{2} &=(x y)(y z)(z x) \\ &=(-80-320 {\rm i})(60)(-96+24 {\rm i}) \\ &=80 \cdot 60 \cdot 24(-1-4 {\rm i})(-4+{\rm i}) \\ &=240^{2} \cdot 2(-1-4 {\rm i})(-4+{\rm i}) \\ &=240^{2}(16+30 {\rm i}) \\ &=240^{2}(5+3 {\rm i})^{2}.\end{split}$$ 因此 $$\begin{cases} x=\pm(20+12 {\rm i}),\\ y=\pm(-10-10 {\rm i}),\\ z=\pm(-3+3 {\rm i}),\end{cases}\implies x+y+z=\pm(7+5 {\rm i}),$$ 于是 $a^2+b^2=7^2+5^2=74$．