每日一题[2188]必有周期

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=2$，$a_1=5$，$a_2=8$，$a_n$ 为 $4\left(a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}\right)$ 除以 $11$ 的余数，则 $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}=$ ______．

答案    $112$．

解析    根据题意，$\{a_n\}$ 为

$$\begin{array}{c|ccccccccccccc}\hline n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline a_n&2&5&8&5&6&10&7&4&7&6&2&5&8\\ \hline \end{array}$$ 这是一个周期为 $10$ 的数列，于是 $$a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}=a_{8} \cdot a_{0} \cdot a_{2}=7 \cdot 2 \cdot 8=112.$$