每日一题[2175]二进制

已知锐角 $\theta$ 满足对任意非负整数 $n$，都有

$$\tan(2^n\theta)\begin{cases} >0,&n\text{ 为 }3\text{ 的倍数},\\ <0,&n\text{ 不为 }3\text{ 的倍数},\end{cases}$$ $\theta$的最简分数表示为$\dfrac pq$，则$p+q=$ _______．

答案    $547$．

设 $\theta=90\alpha$，则 $\tan\left(2^n\theta\right)>0$ 等价于 $\left[2^n\alpha\right]$ 为偶数（其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），因此

$$\alpha_{(2)}=0.\underbrace{110}\underbrace{110}\underbrace{110}\cdots_{(2)}=\dfrac 67_{(10)},$$ 因此 $\theta=90\cdot \dfrac 67=\dfrac{540}{7}$，从而 $p+q=547$．