每日一题[2165]巧连环

已知正整数 $a,b,c,d,e,f,g$ 满足

$$\begin{cases} abc=70,\\ cde=71,\\ efg=72,\end{cases}$$ 则符合要求的解 $(a, b, c, d, e, f, g)$ 的个数为_______．

答案    $096$．

解析    由于 $71$ 是质数，而 $c,e$ 不可能为 $71$，因此有 $c=e=1$，$d=71$，进而

$$\begin{cases} ab=2\cdot 5\cdot 7,\\ fg=2^3\cdot 3^2,\end{cases}$$ 从而符合要求的解个数为 $$(1+1)(1+1)(1+1)\cdot (1+3)(1+2)=96.$$