每日一题[2159]切圆好友

三角形 $ABC$ 的边长均为整数，且 $AB=AC$．圆 $\omega$ 的圆心为 $\triangle ABC$ 的内心，$\triangle ABC$ 的边 $BC$ 对应的旁切圆与圆 $\omega$ 内切，边 $AC,BA$ 对应的旁切圆与圆 $\omega$ 外切，则 $\triangle ABC$ 的周长的最小值为_______．

答案    $20$．

解析    先不考虑边长为整数的条件，设 $BC=1$，$AB=AC=x$，则

$$[ABC]=\dfrac 12\sqrt{x^2-\dfrac14},$$ 设 $A,B$ 点对应的旁切圆圆心分别为 $I_A,I_B$，半径分别为 $r_A,r_B$．记 $BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，内切圆半径为 $r$，则 $$[ABC]=r\cdot \dfrac{a+b+c}2=r_A\cdot \dfrac{b+c-a}2,$$ 从而 $$r=\dfrac 12\sqrt{\dfrac{x-\dfrac 12}{x+\dfrac 12}},\quad r_A=\dfrac 12\sqrt{\dfrac{x+\dfrac 12}{x-\dfrac 12}},\quad r_B=\sqrt{x^2-\dfrac14}.$$

设 $M$ 为 $BC$ 的中点，$D$ 为圆 $I_B$ 与 $BC$ 的切点，$X$ 为 $I$ 在 $I_BD$ 上的投影，则圆 $\omega$ 的半径为 $r+2r_A$，$BD$ 为 $\triangle ABC$ 的半周长 $x+\dfrac 12$，于是

$$IX=MD=BD-BM=x,$$ 根据勾股定理，在直角 $\triangle IXI_B$ 中，有 $$x^2+(r_B-r)^2=(r+2r_A+r_B)^2\iff x^2=4rr_A+4rr_B+4r_Ar_B+4r_A^2,$$ 将 $r,r_A,r_B$ 都用 $x$ 表示，有 $$x^2=1+(2x-1)+(2x+1)+\dfrac{x+\dfrac 12}{x-\dfrac 12}\iff x=\dfrac 92,$$ 因此符合题意的 $(a,b,c)=(2,9,9)$，周长为 $20$．