每日一题[2157]平方数不定方程

定义 $\tau(n)$ 为 $n$ 的正约数的数量，则关于 $n$ 的方程

$$\tau(n)+\tau(n+1)=7$$ 的最小的 $6$ 个正整数解的和为_______．

答案     $540$．

解析    $\tau(n)$ 为奇数等价于 $n$ 为完全平方数，于是 $n$ 和 $n+1$ 中有且仅有一个完全平方数．于是

$$(n,n+1)=(m^2,m^2+1)\lor (n,n+1)=(m^2-1,m^2),$$ 将 $m=1,2,3,4$ 代入验证，可得 $n=8,9,16$ 符合题意． 当 $m\geqslant 5$ 时，若 $(n,n+1)=(m^2-1,m^2)$，则 $$n=(m+1)(m-1),$$ 于是 $\tau(n)\geqslant 4$ 且等号取得的条件为 $m+1,m-1$ 均为素数，同时 $\tau(n+1)\geqslant 3$ 且等号取得的条件是 $m$ 为素数，而 $m+1,m,m-1$ 是连续的三个整数，其中必然有不小于 $4$ 的偶数，不可能均为素数，矛盾．因此 $(n,n+1)=(m^2,m^2+1)$．若 $m$ 为偶数，则 $n$ 的正约数有 $$1,2,\dfrac m2,m,2m,\dfrac{m^2}2,m^2,$$ 于是 $$\tau(n)+\tau(n+1)>\tan(n)\geqslant 7,$$ 矛盾．若 $m$ 为奇数，则此时 $$\tau(n)=\tau(m^2)\geqslant 3,$$ 等号当且仅当 $m$ 为素数时取得，而 $n+1$ 的正约数有 $$1,2,\dfrac{m^2+1}2,m^2+1,$$ 因此 $$\tan(n+1)\geqslant 3,$$ 等号当且仅当 $\dfrac{m^2+1}2$ 是素数时取得． 综上所述，$n=m^2$，且 $m$ 和 $\dfrac{m^2+1}2$ 均为素数，其中最小的三个分别为 $m=5,11,19$，因此所求符合题意的最小的 $6$ 个正整数之和为 $$8+9+16+5^2+11^2+19^2=540.$$