每日一题[2156]递推

已知实数 $x$ 满足 $\sin ^{10} x+\cos ^{10} x=\dfrac{11}{36}$，且 $\sin ^{12} x+\cos ^{12} x$ 的最简分数表示为 $\dfrac{m}{n}$，则 $m+n=$_______．

答案    $67$．

设 $a_n=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$，则 $a_0=2$，$a_1=1$，$a_5=\dfrac{11}{36}$，所求代数式为 $a_6$，由于 $\sin^2x+\cos^2x=1$，可得

$$a_n=(\sin^{2n}x+\cos^{2n}x)(\sin^2x+\cos^2x)=a_{n+1}+\sin^2x\cos^2x \cdot a_{n-1},$$ 记 $\sin^2x\cos^2x=t$，则 $t=\dfrac 14\sin^22x$，有 $t\in\left[0,\dfrac 14\right]$ 且 $$a_{n+1}=a_n-ta_{n-1},$$ 从而 $$\begin{split} a_2&=a_1-ta_0=1-2t,\\ a_3&=a_2-ta_1=1-3t,\\ a_4&=a_3-ta_2=1-4t+2t^2,\\ a_5&=a_4-ta_3=1-5t+5t^2,\\ a_6&=a_5-ta_4=1-6t+9t^2-2t^3,\end{split}$$ 解得 $t=\dfrac 56$（舍去）或 $t=\dfrac 16$，进而 $$a_6=1-6t+9t^2-2t^3=\dfrac{13}{54},$$ 于是 $m+n=13+54=67$．