每日一题[2155]吸收壁

一个粒子从点 $(4,4)$ 出发运动，直到它首次碰到坐标轴时停止．当粒子位于点 $(a,b)$ 时，会等可能的运动到 $(a-1, b)$，$(a, b-1)$，$(a-1, b-1)$ 中的某个位置．粒子每次的运动都独立．设粒子到达坐标原点 $O$ 的概率的最简形式为 $\dfrac{m}{3^n}$，则 $m+n=$ _______．

答案    $252$．

要到达原点必然经过 $(1,1)$，按移动的步数分类讨论

$$\begin{array}{c|ccc|c}\hline \text{步数}&\swarrow&\leftarrow&\downarrow&\text{计数}\\ \hline 3&3&0&0&\dbinom33=1\\ \hline 4&2&1&1&\dbinom{4}{2~1~1}=12\\ \hline 5&1&2&2&\dbinom{5}{1~2~2}=30\\ \hline 6&0&3&3&\dbinom{6}{3~3}=20\\ \hline \end{array}$$ 于是所求概率为 $$\dfrac 13\left( \frac{1}{3^{6}} \cdot 20+\frac{1}{3^{5}} \cdot 30+\frac{1}{3^{4}} \cdot 12+\frac{1}{3^{3}} \cdot 1\right)=\frac{245}{3^{7}},$$ 因此 $m+n=245+7=252$．