已知 △ABC 满足 AB=1,AC=2,cosA=725.若 E 为 △ABC 内一点,满足 λ→AE=2→AB+→AC(λ∈R),且 →EB⋅→EC=0,延长 AE 至 BC 交于点 D,则 ADλ= _______.
答案 6−√2215.
解析 统一起点为 A,则→EB⋅→EC=0⟺(→AB−→AE)⋅(→AC−→AE)=0,
记 1λ=x,则→AE=2x→AB+x→AC,
于是((1−2x)→AB−x→AC)⋅(−2x→AB+(1−x)→AC)=0,
从而−2x(1−2x)⋅12−x(1−x)⋅22+(2x2+(1−2x)(1−x))⋅1⋅2⋅725=0,
即128x2−64x+7=0,
解得 x=6−√2216.而AD=√(23→AB+13→AC)2=√49⋅12+19⋅22+49⋅1⋅2⋅725=1615,
从而ADλ=AD⋅x=6−√2215.