每日一题[2145]条件排列

国际数学奥林匹克竞赛（$IMO$）历史悠久，其考试一般分两天举行，每天考三道题．题目的类型共有四种，分别为代数、几何、组合、数论，且题目类型分布满足下列规则：

① 每个类型的题目至少出现一次；

② 每天的三道题类型各不相同；

③ 第 $3$ 题和第 $6$ 题中，至少有一道组合题． 下列说法正确的有（       ）

A．共有 $216$ 种不同的题目排布方案

B．共有 $192$ 种不同的题目排布方案

C．如果 $IMO$ 组委会想出 $2$ 道组合题，则共有 $120$ 种不同的题目排布方案

D．如果 $IMO$ 组委会想出 $2$ 道组合题，则共有 $144$ 种不同的题目排布方案

答案    BC．

解析 

情形一    组合题有 $2$ 道．按照第 $3$ 题和第 $6$ 题是否是组合题分类． 第 $3$ 题和第 $6$ 题中只有 $1$ 题为组合题，则方案数为

$$4\mathop{\rm A}\nolimits_3^2(\mathop{\rm C}\nolimits_3^2-1)2!=96.$$ 第 $3$ 题和第 $6$ 题均为组合题，则方案数为 $$\mathop{\rm A}\nolimits_3^2(\mathop{\rm C}\nolimits_3^2-1)2!=24.$$

情形二    组合题有 $1$ 道．则方案数为

$$2\mathop{\rm A}\nolimits_3^2\mathop{\rm A}\nolimits_3^3=72.$$ 于是共有 $192$ 种不同的题目排布方案，且若组合题为 $2$ 道时，有 $120$ 种不同的题目排布方案．