每日一题[2142]类周期函数

设 $f$ 是 $\mathbb R^+\to \mathbb R^+$ 的函数，对任意的正实数 $x$，$f(3x)=3f(x)$，且当 $x\in (1,3]$ 时，$f(x)=1-|x-2|$，设 $a$ 是最小实数 $x$ 使得 $f(x)=2020$，$b$ 是 $(1,a)$ 之间使得 $f(x)=3$ 的实数 $x$ 的个数，则下列选项正确的有（       ）

A．$a=4207$

B．$a=4205$

C．$b=12$

D．$b=10$

答案    AC．

解析    根据题意，当 $x\in \left(3^k,3^{k+1}\right]$ 时，有

$$f(x)=3^k\left(1-\left|\dfrac{x}{3^k}-2\right|\right),$$ 在该区间上的函数 $f(x)$ 的最大值为 $$f\left(2\cdot 3^k\right)=3^k,$$ 而 $3^6=729<2020<2187=3^7$，于是 $a\in\left(3^7,2\cdot 3^7\right]$，且 $$2020=2187\left(1-\left|\dfrac a{2187}-2\right|\right),$$ 解得 $a=4207$（$a=4541$ 舍去）． 考虑 $f(x)=3$ 在区间 $x\in \left(3^k,3^{k+1}\right]$ 上的实数解个数，当 $k=0$ 时为 $0$ 个；当 $k=1$ 时为 $1$ 个；当 $k=2,3,4,5,6$ 时为 $2$ 个；在区间 $\left(3^7,a\right)$ 为 $1$ 个．因此 $$b=1+2\cdot 5+1=12.$$