每日一题[2141]优秀

某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：数学有 $21$ 人获得优秀，物理 $19$ 人，化学 $20$ 人，数学物理都优秀 $9$ 人，物理化学都优秀 $7$ 人，化学数学都优秀 $8$ 人．另外，这个班有 $5$ 人任何一科都不优秀，则下列选项中正确的有

A．仅有物理一科优秀的最少有 $4$ 人

B．仅有数学一科优秀的最多有 $11$ 人

C．仅有化学一科优秀的最少有 $5$ 人

D．这个班可能有 $40$ 个人

答案    BC．

解析    设数学、物理、化学优秀的人分别为 $A,B,C$，则

$$\begin{cases} {\rm Card}(A)=21,{\rm Card}(B)=19,{\rm Card}(C)=20,\\ {\rm Card}(A\cap B)=9,{\rm Card}(B\cap C)=7,{\rm Card}(C\cap A)=8,\end{cases}$$ 从而 $${\rm Card}(A\cup B\cup C)-{\rm Card}(A\cap B\cap C)=(21+10+20)-(9+7+8)=36,$$ 而 $$0\leqslant {\rm Card}(A\cap B\cap C)\leqslant {\rm Card}(B\cap C)=7,$$ 于是 $$36\leqslant {\rm Card}(A\cup B\cup C)\leqslant 43,$$ 考虑到还有 $5$ 个人任何一科都不优秀，因此这个班的人数在 $41$ 人到 $48$ 人之间，选项 $D$ 错误．

仅有物理一科优秀的人数为

$${\rm Card}(A\cup B\cup C)-{\rm Card}(A)-{\rm Card}(C)+{\rm Card}(A\cap C)={\rm Card}(A\cup B\cup C)-33\geqslant 3,$$ 因此最少人数为 $3$ 人，选项 $\boxed{A}$ 错误．

仅有数学一科优秀的人数为

$${\rm Card}(A\cup B\cup C)-{\rm Card}(B)-{\rm Card}(C)+{\rm Card}(B\cap C)={\rm Card}(A\cup B\cup C)-32\leqslant 11,$$ 因此最多人数为 $11$ 人，选项 $\boxed{B}$ 正确．

仅有化学一科优秀的人数为

$${\rm Card}(A\cup B\cup C)-{\rm Card}(A)-{\rm Card}(B)+{\rm Card}(A\cap B)={\rm Card}(A\cup B\cup C)-31\geqslant 5,$$ 因此最少人数为 $5$ 人，选项 $\boxed{C}$ 正确．