每日一题[2139]消元

已知实数 $a,b,c,d,e$，满足 $$\begin{cases} a+b+c+d+e=8,\\ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16,\end{cases}$$ 则 $e$ 的取值范围是（       ）

A．$[-2,2]$

B．$[0,1]$

C．$[0,2)$

D．以上答案都不对

答案    D．

解析    根据柯西不等式，有 $$-\sqrt{4}\cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\leqslant a+b+c+d\leqslant \sqrt{4}\cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2},$$ 从而 $$|8-e|\leqslant 2\sqrt{16-e^2}\iff 0\leqslant e\leqslant \dfrac{16}5,$$ 因此 $e$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac{16}5\right]$．