每日一题[2137]正难则反

正六棱柱的 $12$ 个顶点的任意 $2$ 个顶点所在直线中，异面直线的对数为（       ）

A．$1125$

B．$1278$

C．$1350$

D．$1542$

答案    B．

解析    $12$ 个顶点构成的 $4$ 点组有 $\dbinom{12}4=495$ 个，其中共面的 $4$ 点组可以按在上下底面的个数分类讨论．

情形一    全部在上底面或全部在下底面．共面 $4$ 点组数为 $$2\dbinom{6}4=30.$$

情形二    两个底面各 $2$ 个．共面 $4$ 点组数按在上底面的 $2$ 个点间的位置关系分类（此时上下底面的点分别连线，则连线平行），为 $$6\cdot 3+6\cdot 2+3\cdot 3=39.$$

因此共面的 $4$ 点组共有 $69$ 个，进而不共面的 $4$ 点组有 $426$ 个，每个不共面的 $4$ 点组贡献 $3$ 对异面直线，且不同的 $4$ 点组贡献的异面直线不同，因此所求异面直线的对数为 $426\cdot 3=1278$．