每日一题[2125]焦点弦

设 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}2=1$ 的左、右焦点，过点 $F_1$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点，且 $|AF_2|=|AB|$，$\overrightarrow{F_1B}=\lambda \overrightarrow{AF_1}$，则 $\lambda$ 的值可能为（       ）

A．$\dfrac 12$

B．$1$

C．$2$

D．$3$

答案    BC．

解析    

如图．

设 $|F_1A|=m$，$|F_1B|=n$，根据椭圆的定义，有 $|AF_2|=2\sqrt 3-m$，$|BF_2|=2\sqrt 3-n$．由 $|AF_2|=|AB|$ 以及椭圆的焦点分焦点弦所成的两条线段长的调和平均数为半通径长，可得

$$\begin{cases} m+n=2\sqrt 3-m,\\ \dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot 2,\end{cases}\iff (m,n)=\left(\dfrac 2{\sqrt 3},\dfrac 2{\sqrt 3}\right),\left(\dfrac{\sqrt 3}2,\sqrt 3\right),$$ 因此 $\lambda=\dfrac nm$，所有可能值为 $1,2$．