每日一题[2123]隐零点参数

已知函数 $f(x)=\dfrac 12ax^2-ax+\ln x$（$a\in\mathbb R$）．

1、若 $a<0$，判断 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，当 $a<{\rm e}^2$ 时，求证：

$$f(x_1)-f(x_2)<\dfrac 12{\rm e}^2-2.$$

解析

1、若 $a<0$，则函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{ax^2-ax+1}x,$$ 设 $g(x)=ax^2-ax+1$，则 $g(0)=1>0$，且 $g(x)$ 是开口向下的抛物线，因此函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点 $$x_0=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4a}}{2a},$$ 且函数 $f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上单调递增，在 $(x_0,+\infty)$ 上单调递减．

2、根据题意，有 $4<a<{\rm e}^2$，且 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程

$$ax^2-ax+1=0$$ 的两根．而 $$\begin{split} x_1+x_2&=1,\\ x_2-x_1&=\dfrac{\sqrt{a^2-4a}}a,\\ \dfrac{\ln x_2-\ln x_1}{x_2-x_1}&>\dfrac{2}{x_1+x_2},\end{split}$$ 此时 $$\begin{split} f(x_1)-f(x_2)&=\dfrac 12a(x_1-x_2)(x_1+x_2)-a(x_1-x_2)-(\ln x_2-\ln x_1)\\ &<\dfrac 12a(x_1-x_2)-a(x_1-x_2)-2(x_2-x_1)\\ &=\dfrac{a-4}2(x_2-x_1)\\ &=\dfrac{a-4}2\cdot \dfrac{\sqrt{a^2-4a}}a\\ &=\left(\dfrac 12-\dfrac 2a\right)\sqrt{a(a-4)},\end{split}$$ 右侧关于 $a$ 的函数单调递增，因此 $$\left(\dfrac 12-\dfrac 2a\right)\sqrt{a(a-4)}<\left(\dfrac 12-\dfrac 2a\right)\sqrt{a(a-4)}\Bigg|_{a={\rm e}^2}=\dfrac{{\rm e}^2-4}{2}\cdot \sqrt{1-\dfrac{4}{{\rm e}^2}}<\dfrac 12{\rm e}^2-2,$$ 因此命题得证．