解实数方程：\[\sin ^7x+\dfrac1{\cos^3x}=\cos^7x+\dfrac1{\sin^3x}.\]
答案 $x=\dfrac{\pi}4+k\pi,k\in\mathbb Z$．
解析 设 $f(t)=t^7-\dfrac1{t^3}$，则\[f(t)=\dfrac{t^{10}-1}{t^3},\]于是 $f(t)$ 在 $[-1,0)$ 上单调递增且函数值为正数，在 $(0,1]$ 上单调递增且函数值为负数．因此函数 $ f(t)$ 的自变量与函数值一一对应，从而题中方程即\[f(\sin x)=f(\cos x)\iff \sin x=\cos x\iff x=\dfrac{\pi}4+k\pi,k\in\mathbb Z.\]