已知函数 f(x)=lnx−a√x.
1、讨论 f(x) 的单调性.
2、存在正实数 k 使得函数 g(x)=kx−1+f(x) 有三个零点,求实数 a 的取值范围.
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{2-a\sqrt x}{2x},\]因此当 $a\leqslant 0$ 时,函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增;当 $a>0$ 时,函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 4{a^2}\right)$ 上单调递增,在 $\left(\dfrac4{a^2},+\infty\right)$ 上单调递减.
2、根据题意,关于 x 的方程kx−1+lnx−a√x=0⟺k=a√x+1−lnxx有三个实数解.设 h(x)=a√x+1−lnxx,则其导函数h′(x)=2lnx−a√x−42x2.若 a⩽0,则 h′(x) 单调递增,因此 h(x) 至多有一个极值点,至多有 2 个零点,不符合题意.当 a>0 时,设 r(x)=4lnx−ax−4,则其导函数r′(x)=4x−a,因此 r(x) 在 (0,4a) 上单调递增,在 (4a,+∞) 上单调递减,从而 r(x) 的极大值,也为最大值为r(4a)=4ln4a−8. [[case]]情形一[[/case]]若 a⩾4e2,则 h′(x) 至多有一个零点,进而 h(x) 至多只有 2 个零点,不符合题意. [[case]]情形二[[/case]]当 0<a<4e2 时,函数 h(x) 有两个极值点.注意到当 x→0+ 时,h(x)→+∞;当 x→+∞ 时,h(x)→0+.设 x=m 是函数 h(x) 的极值点,则2lnm−a√m−4=0⟹lnm=2+a2√m,因此对应极值为h(m)=a2√m−1m=a√m−22m,而r(2a)=4ln2a−6>0,因此 h(x) 的极小值点 m1,极大值点 m2 满足0<m1<4a<4a2<m2,从而 h(x) 的极小值为负值,极大值为正值,因此取 k=12h(m2),则 h(x) 在三个单调区间 (0,m1),(m1,m2),(m2,+∞) 上均有唯一零点,符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 (0,4e2).
备注
事实上,证明极大值为正值即可.(0,m1) 和 (m2,+∞) 上存在零点的严格证明:当 0<x<min{1,(ak)2} 时,有h(x)>a√x+1x>k,且当 x>max{e,(ak)2} 时,有h(x)<a√x<k.