每日一题[2120]抓变化断正负

已知函数 f(x)=lnxax

1、讨论 f(x) 的单调性.

2、存在正实数 k 使得函数 g(x)=kx1+f(x) 有三个零点,求实数 a 的取值范围.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{2-a\sqrt x}{2x},\]因此当 $a\leqslant 0$ 时,函数 $f(x)$$(0,+\infty)$ 上单调递增;当 $a>0$ 时,函数 $f(x)$$\left(0,\dfrac 4{a^2}\right)$ 上单调递增,在 $\left(\dfrac4{a^2},+\infty\right)$ 上单调递减.

2、根据题意,关于 x 的方程kx1+lnxax=0k=ax+1lnxx有三个实数解.设 h(x)=ax+1lnxx,则其导函数h(x)=2lnxax42x2.a0,则 h(x) 单调递增,因此 h(x) 至多有一个极值点,至多有 2 个零点,不符合题意.当 a>0 时,设 r(x)=4lnxax4,则其导函数r(x)=4xa,因此 r(x)(0,4a) 上单调递增,在 (4a,+) 上单调递减,从而 r(x) 的极大值,也为最大值为r(4a)=4ln4a8. [[case]]情形一[[/case]]若 a4e2,则 h(x) 至多有一个零点,进而 h(x) 至多只有 2 个零点,不符合题意. [[case]]情形二[[/case]]当 0<a<4e2 时,函数 h(x) 有两个极值点.注意到当 x0+ 时,h(x)+;当 x+ 时,h(x)0+.设 x=m 是函数 h(x) 的极值点,则2lnmam4=0lnm=2+a2m,因此对应极值为h(m)=a2m1m=am22m,r(2a)=4ln2a6>0,因此 h(x) 的极小值点 m1,极大值点 m2 满足0<m1<4a<4a2<m2,从而 h(x) 的极小值为负值,极大值为正值,因此取 k=12h(m2),则 h(x) 在三个单调区间 (0,m1),(m1,m2),(m2,+) 上均有唯一零点,符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 (0,4e2)

备注

事实上,证明极大值为正值即可.(0,m1)(m2,+) 上存在零点的严格证明:当 0<x<min{1,(ak)2} 时,有h(x)>ax+1x>k,且当 x>max{e,(ak)2} 时,有h(x)<ax<k.

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