每日一题[2115]有理数引理

求所有的三元有序整数组，使得 $\sqrt{\dfrac{2015}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{2015}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{2015}{z+x}}$ 为正整数．

答案    $(4030,4030,28210)$ 及其轮换

解析    

先证明一个引理．

若 $p,q,r,\sqrt p +\sqrt q +\sqrt r$ 均为有理数，则 $\sqrt p,\sqrt q,\sqrt r$ 也均为有理数．

引理的证明

设 $S=\sqrt p+\sqrt q+\sqrt r$，则

$$\sqrt p+\sqrt q =S-\sqrt r\implies p+2\sqrt{pq}+q=S^2-2S\sqrt r+r,$$ 于是 $$\sqrt{pq}=\dfrac{S^2-p-q+r}2-S\sqrt r,$$ 于是 $$pq=T^2-2ST\sqrt r+S^2r\implies \sqrt r=\dfrac{T^2+S^2r-pq}{2ST},$$ 其中 $T=\dfrac {S^2-p-q-r}2$，于是 $\sqrt r$ 是有理数．类似的，$\sqrt p,\sqrt q$ 也是有理数，引理得证． 由引理可知 $\sqrt{\dfrac{2015}{x+y}},\sqrt{\dfrac{2015}{y+z}},\sqrt{\dfrac{2015}{z+x}}$ 均为有理数，记 $N=2015$，且 $\sqrt{\dfrac{2015}{x+y}}=\dfrac ab$，其中 $a,b\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $(a,b)=1$，则 $$b^2\cdot N=a^2(x+y),$$ 于是 $a^2\mid N$，注意到 $N$ 为素数，因此 $a=1$．从而 $$\sqrt{\dfrac{N}{x+y}}=\dfrac 1u,\quad \sqrt{\dfrac{N}{y+z}}=\dfrac 1v,\quad \sqrt{\dfrac{N}{z+x}}=\dfrac 1w,$$ 其中 $u,v,w\in\mathbb N^{\ast}$．注意到 $\dfrac 1u+\dfrac 1v+\dfrac 1w\leqslant 3$，因此只可能为 $1,2,3$．由于 $$(x+y)+(y+z)+(z+w)=2(x+y+z)$$ 为偶数，因此 $u+v+w$ 也为偶数，进而只有 $(u,v,w)=(2,4,4)$ 及其轮换，此时 $$(x,y,z)=(4030,4030,28210)_{\rm cyc}.$$

综上所述，所有符合题意的三元有序整数组只有 $(4030,4030,28210)$ 及其轮换．