每日一题[2112]递推与递归

设 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\arcsin x$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．

1、证明：$(1-x^2)f^{(n+1)}(x)-(2n+1)xf^{(n)}(x)-n^2f^{(n-1)}(x)=0$．

2、求 $f^{(n)}(0)$．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{split} f^{(1)}(x)&=\dfrac{1}{1-x^2}+\dfrac{x}{(1-x^2)^{\frac 32}}\arcsin x,\\ f^{(2)}(x)&=\dfrac{3x}{(1-x^2)^2}+\dfrac{3x^2}{(1-x^2)^{\frac 52}}\arcsin x+\dfrac{1}{(1-x^2)^{\frac 32}}\arcsin x,\end{split}$$ 因此当 $n=1$ 时，等式成立． 接下来对 $n$ 进行归纳证明．

若等式对 $n$ 成立，则两边对 $x$ 求导，有

$$(1-x^2)f^{(n+2)}(x)-2xf^{(n+1)}(x)-(2n+1)f^{(n)}(x)-(2n+1)xf^{(n+1)}(x)-n^2f^{(n)}(x)=0,$$ 即 $$(1-x^2)f^{(n+2)}(x)-(2n+3)f^{(n+1)}(x)-(n+1)^2f^{(n)}(x)=0,$$ 因此等式对 $n+1$ 也成立．

综上所述，等式得证．

2、在第 $(1)$ 小题的结果中，令 $x=0$，有

$$f^{(n+1)}(0)-n^2f^{(n-1)}(0)=0,$$ 而 $f^{(0)}(0)=0$；$f^{(1)}(0)=1$，从而 $$f^{(n)}(0)=\begin{cases} 0,&n\text{ 为偶数},\\ \big((n-1)!!\big)^2,&n\text{ 为奇数}.\end{cases}$$