每日一题[2111]凑平方

已知正数 $x,y>0$，$xy(x+y)=4$，则 $xy$ 的最大值为_______；$2x+y$ 的最小值为_______．

答案    $\sqrt[3]4$；$2\sqrt 3$

解析    根据题意，有 $$4=xy(x+y)\geqslant xy\cdot 2(xy)^{\frac 12}\implies xy\leqslant 2^{\frac 23},$$ 等号当 $x=y=2^{\frac 13}$ 时取得，因此 $xy$ 的最大值为 $\sqrt[3]4$． 又 $$4=y(x^2+xy)=\dfrac 12\sqrt{(2x^2+2xy)(2x^2+2xy)y^2}\leqslant \dfrac 12\left(\dfrac{(2x+y)^2}3\right)^{\frac 32},$$ 因此 $$2x+y\geqslant 2\sqrt 3,$$ 等号当 $2x^2+2xy=y^2$，即 $x=\sqrt 3-1$，$y=2$ 时取得，因此 $2x+y$ 的最小值为 $2\sqrt 3$．