每日一题[2100]百花齐放

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，椭圆 $C$ 的长轴长为 $\sqrt 6$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、若直线 $l:x+y+m=0$（$m>0$）与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点且 $OA\perp OB$，求 $m$ 的值及以 $AB$ 为直径的圆的周长．

解析

1、根据题意，有 $a=\dfrac{\sqrt 6}2$，且半焦距 $$c=\dfrac{\sqrt 6}2\cdot \dfrac{\sqrt 2}2=\dfrac{\sqrt 3}2,$$ 于是 $$b^2=a^2-c^2=\dfrac 64-\dfrac 34=\dfrac 34,$$ 所求椭圆方程为 $$\dfrac{x^2}{\frac 32}+\dfrac{y^2}{\frac 34}=1.$$

2、设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $$OA\perp OB\iff \dfrac{y_1}{x_1}\cdot \dfrac{y_2}{x_2}=-1,$$ 联立椭圆与直线 $l$ 的方程，可得 $$\dfrac{x^2}{\frac 32}+\dfrac{y^2}{\frac 34}=\left(\dfrac{x+y}m\right)^2,$$ 即 $$\left(\dfrac 43-\dfrac1{m^2}\right)\left(\dfrac yx\right)^2-\dfrac{2}{m^2}\cdot \dfrac yx+\left(\dfrac 23-\dfrac1{m^2}\right)=0,$$ 因此 $$\dfrac{y_1}{x_1}\cdot \dfrac{y_2}{x_2}=-1\iff \dfrac{\dfrac 23-\dfrac 1{m^2}}{\dfrac 43-\dfrac1{m^2}}=-1\iff m^2=1,$$ 于是 $m=1$，此时 $l:y=-x-1$．设 $AB$ 的中点为 $M(t,-t-1)$，则根据点差法的结论，有直线 $OM$ 与直线 $l$ 的斜率之积为 $-\dfrac{b^2}{a^2}=-\dfrac 12$，于是 $$\dfrac{-t-1}{t}\cdot (-1)=-\dfrac 12\iff t=-\dfrac 23,$$ 从而 $M\left(-\dfrac 23,-\dfrac13\right)$，而 $\triangle AOB$ 是直角三角形，有 $$|AB|=2|OM|=\dfrac{2\sqrt 5}3,$$ 所求圆的周长为 $\pi\cdot |AB|=\dfrac{2\sqrt 5}3\pi$．