每日一题[2093]先猜后证

已知 $a,b,c,d\geqslant 0$，$a+b\geqslant c+d$，则 $\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}$ 的最小值为_______．

答案    $\dfrac 12$

解析    一方面，当 $b=c=0$，$a=d$ 时，有 $\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}=\dfrac 12$； 另一方面，有 $$\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}\geqslant \dfrac{(a+2b)^2}{a(b+2d)+b(a+2c)}=\dfrac 12\cdot \dfrac{a^2+4ab+4b^2}{ab+ad+bc},$$ 而 $$\begin{split} a^2+4ab+4b^2&=(a+b)^2+3ab+3b^2\\ &\geqslant (a+b)(c+d)+ab\\ &\geqslant ac+bc+ad+bd+ab\\ &\geqslant ab+ad+bc,\end{split}$$ 因此 $$\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}\geqslant \dfrac 12,$$ 从而所求最小值为 $\dfrac 12$．

注    原题给的条件是$a,b>0$，有误．当$a\to d$，$b\to 0$时，$\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}\to \dfrac 12$，因此 $\dfrac 12$ 为下确界，而非最小值．