每日一题[2089]张角

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）上两点 $A,B$ 与坐标原点 $O$ 构成正三角形，且这样的正三角形有 $4$ 个，则该双曲线的离心率的范围是_______．

答案    $\left(\dfrac{2\sqrt 3}3,2\right)$．

解析    设双曲线的渐近线的倾斜角分别为 $\theta$ 和 $\pi-\theta$，其中 $\theta$ 为锐角．当 $A,B$ 在双曲线的同一支时（此时 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称），$\angle AOB$ 的取值范围是 $\left(0,2\theta\right)$；当 $A,B$ 在双曲线的不同支时（此时必然在 $x$ 轴的同侧，且关于 $y$ 轴对称），$\angle AOB$ 的取值范围是 $(\pi-2\theta,\pi)$．根据题意，这两种情形分别有 $2$ 个解，因此

$$\begin{cases} 2\theta>\dfrac{\pi}3,\\ \pi-2\theta<\dfrac{\pi}3,\end{cases}\iff \dfrac{\pi}6<\theta<\dfrac{\pi}3\iff \dfrac{1}{3}<\dfrac{b^2}{a^2}<3,$$ 从而离心率 $e$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{2\sqrt 3}3,2\right)$．