设三角形的边长为不相等的整数,且最大边长为 n,这些三角形的个数为 an.
1、求数列 {an} 的通项公式.
2、在 1,2,⋯,100 中任取三个不同的整数,求它们可以是一个三角形的三条边长的概率.
解析
1、设中间边长为 k,则 k 的取值为 (n2,n) 内的所有正整数,而当中间边长确定为 k 时,对应的最小边长为 (n−k,k) 内的所有正整数,因此an=∑n2<k<n,k∈Z(2k−n−1)={2+4+⋯+(n−3),n 是奇数,1+3+⋯+(n−3),n 是偶数,={(n−1)(n−3)4,n 是奇数,(n−2)24,n 是偶数,={14n2−n+34,n 是奇数,14n2−n+1,n是偶数.
2、根据第 (1) 小题的结果,所求概率为100∑k=1ak(1003)=100∑k=1(k−2)24−14⋅50(1003)=1498∑k=1k2−14⋅49(1003)=98⋅99⋅197−494⋅100⋅99⋅986=65132.