每日一题[2086]极限探路

给定正整数 $n\geqslant 3$．求最大的实数 $M$，使得 $$\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\geqslant M$$ 对于任意正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 恒成立，其中 $a_{n+1}=a_1$．

答案    当 $n=3$ 时，$M=\dfrac 34$；当 $n\geqslant 4$ 时，$M=1$．

解析    令 $b_k=\dfrac{a_{k+1}}{a_k}$，则 $b_1\cdot b_2\cdots b_n=1$，且 $$\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{1+b_k}\right)^2.$$ 先证明一个辅助不等式 $$\left(\dfrac1{1+x}\right)^2+\left(\dfrac{1}{1+y}\right)^2\geqslant \dfrac{1}{1+xy}\iff x^3y+xy^3+1\geqslant x^2y^2+2xy,$$ 而根据均值不等式，有 $$x^3y+xy^3+1\geqslant 2x^2y^2+1\geqslant x^2y^2+2xy,$$ 因此辅助不等式成立．

情形一    这样我们就有当 $n=4$ 时，有 $$\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2=\sum_{k=1}^4\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\geqslant \dfrac{1}{1+b_1b_2}+\dfrac{1}{1+b_3b_4}=1.$$ 且当 $(a_1,a_2,a_3,a_4)\to (0,0,0,1)$ 时，有 $$\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\to 1$$ 因此当 $n=4$ 时，$M=1$．

情形二    当 $n\geqslant 5$ 时，注意到若 $b_i\geqslant 1$，则 $$\left(\dfrac{1}{1+b_i}\right)^2+\left(\dfrac{1}{1+b_j}\right)^2\geqslant \left(\dfrac{1}{1+b_i}\right)^2>\left(\dfrac{1}{1+b_ib_j}\right)^2,$$ 因此 $$\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2>1,$$ 且当 $(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n)=(0,0,\cdots,0,1)$ 时，有 $$\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\to 1,$$ 因此当 $n\geqslant 5$ 时，$M=1$．

情形三     $n=3$．取 $a_1,a_2,a_3,a_3$，可得 $$\sum_{k=1}^3\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2+\left(\dfrac{a_3}{a_3+a_3}\right)^2\geqslant 1,$$ 于是 $$\sum_{k=1}^3\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\geqslant \dfrac 34,$$ 等号当 $a_1=a_2=a_3$ 时取得，因此当 $n=3$ 时，$M=\dfrac 34$．

综上所述，当 $n=3$ 时，$M=\dfrac 34$；当 $n\geqslant 4$ 时，$M=1$．