每日一题[2085]极坐标表示

在平面直角坐标系中，点 $A,B,C$ 在双曲线 $xy=1$ 上，满足 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形．求 $\triangle ABC$ 的面积的最小值．

答案    $3\sqrt 3$．

解析    设 $A\left(a,\dfrac 1a\right)$，平移坐标系使 $A$ 为原点，此时双曲线方程为

$$H':\left(x+a\right)\left(x+\dfrac 1a\right)=1\iff xy+\dfrac 1ax+ay=0,$$ 设 $B'\left(\theta:r\right)$，$C'\left(\theta+\dfrac{\pi}2:r\right)$，其中 $r>0$，则 $\triangle ABC$ 的面积 $S=\dfrac 12r^2$．根据题意，有 $$\begin{cases} r^2\sin\theta\cos\theta+\dfrac{r\cos\theta}a+ar\sin\theta=0,\\ -r^2\sin\theta\cos\theta-\dfrac{r\sin\theta}a+ar\cos\theta=0,\end{cases}$$ 于是 $$r=\dfrac{-a\sin\theta-\dfrac 1a\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\dfrac{a\cos\theta-\dfrac 1a\sin\theta}{\sin\theta\cos\theta},$$ 从而可得 $$a^2=\dfrac{\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta},$$ 因此 $$r^2=\dfrac{a^2\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\dfrac 1{a^2}\cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta}=\dfrac{a^2\cos^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\dfrac 1{a^2}\sin^2\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta},$$ 进而 $$\begin{split} S&=\dfrac 12r^2\\ &=\dfrac {a^2+\dfrac1{a^2}}{2\sin^2\theta\cos^2\theta}\\ &=\dfrac{2}{\sin^2 2\theta\cos2\theta}\\ &=\dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt{(1-\cos^22\theta)^2\cdot 2\cos^22\theta}}\\ &\geqslant \dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt{\left(\dfrac 23\right)^3}}=3\sqrt 3,\end{split}$$ 等号当 $\cos^22\theta=\dfrac 13$ 时取得，因此所求面积的最小值为 $3\sqrt 3$．