每日一题[2084]齐次

给定正实数 $0<a<b$，设 $x_1,x_2,x_3,x_4\in [a,b]$，试求 $\dfrac{\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\dfrac{x_3^2}{x_4}+\dfrac{x_4^2}{x_1}}{x_1+x_2+x_3+x_4}$ 的最小值与最大值．

答案    最小值为 $1$，最大值为 $\dfrac ab+\dfrac ba-1$．

解析    设题中代数式为 $m$，根据柯西不等式，有 $$\dfrac{\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\dfrac{x_3^2}{x_4}+\dfrac{x_4^2}{x_1}}{x_1+x_2+x_3+x_4}\geqslant 1,$$ 等号当 $x_1=x_2=x_3=x_4$ 时取得，因此 $m$ 的最小值为 $1$． 注意到 $$\dfrac{x_1^2}{x_2}+x_2=x_1\left(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\right)\leqslant x_1\left(\dfrac ab+\dfrac ba\right),$$ 等号当 $\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac ab,\dfrac ba$ 时取得，因此 $$\left(\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\dfrac{x_3^2}{x_4}+\dfrac{x_4^2}{x_1}\right)+(x_1+x_2+x_3+x_4)\leqslant \left(\dfrac ab+\dfrac ba\right)(x_1+x_2+x_3+x_4),$$ 从而 $$m\leqslant \dfrac ab+\dfrac ba-1,$$ 等号当 $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(a,b,a,b)$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac ab+\dfrac ba-1$． 综上所述，题中代数式的最小值为 $1$，最大值为 $\dfrac ab+\dfrac ba-1$．